01 / 03

Polinomial

Suku banyak: bentuk, grafik, pembagian Horner, serta teorema sisa dan faktor.

Bentuk umum

Polinomial (suku banyak) dalam variabel x berderajat n ditulis:

P(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, a_n ≠ 0

Derajat: pangkat tertinggi x, yaitu n (bilangan cacah).
Koefisien utama: a_n, koefisien suku berpangkat tertinggi.
Suku tetap (konstanta): a₀.

ContohP(x) = 4x³ − x⁵ + 7 berderajat 5, koefisien utamanya −1, suku tetapnya 7. Urutan penulisan suku tidak memengaruhi derajat.

Operasi

Penjumlahan dan pengurangan dilakukan pada suku sejenis (pangkat sama). Pada perkalian, derajat hasil kali sama dengan jumlah derajatnya: der(P·Q) = der P + der Q.

Nilai polinomial

Nilai P(k) dihitung dengan substitusi langsung atau skema Horner, yang menulis polinomial sebagai perkalian bersarang sehingga perkaliannya lebih sedikit:

a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ = ((a₃x + a₂)x + a₁)x + a₀

Pembagian

P(x) = Q(x) · H(x) + S(x), der S < der Q

Q adalah pembagi, H hasil bagi, S sisa. Jika pembagi berderajat 1, sisanya konstanta. Jika pembagi berderajat 2, sisanya paling tinggi berderajat 1, yaitu S(x) = px + q.

Teorema sisa

Sisa P(x) dibagi (x − k) adalah P(k).
Sisa P(x) dibagi (ax − b) adalah P(b/a).

Teorema faktor

(x − k) faktor dari P(x) ⇔ P(k) = 0

Nilai k itu adalah akar persamaan P(x) = 0. Jika semua koefisien bulat, calon akar rasionalnya berbentuk ±(faktor a₀) / (faktor a_n).

Akar dan koefisien (Vieta)

Untuk ax³ + bx² + cx + d = 0 dengan akar x₁, x₂, x₃:

x₁ + x₂ + x₃ = −b/a
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
x₁x₂x₃ = −d/a

Lanjut ke untuk melihat semua ini bergerak, atau pelajari semester.

Koefisien · P(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

Contoh siap pakai

Evaluasi · teorema sisa

c1

Derajat P(x)

Isi koefisien dari pangkat tertinggi. Suku yang tidak ada diisi 0. Boleh pecahan (1/2) atau desimal (2,5).

Pembagi

02 / 03

Matriks

Operasi, determinan, dan invers, lengkap dengan langkah perhitungannya.

Pengertian dan ordo

Matriks adalah susunan bilangan dalam baris dan kolom. Matriks dengan m baris dan n kolom berordo m × n. Entri pada baris ke-i kolom ke-j ditulis a_ij.

A = 2−10435 berordo 2 × 3, a₁₂ = −1

Jenis khusus

Persegi: banyak baris sama dengan banyak kolom.
Identitas I: diagonal utama 1, entri lain 0. Berlaku AI = IA = A.
Nol O: semua entrinya 0.
Transpos A^T: baris ke-i menjadi kolom ke-i.

Kesamaan dua matriks

Dua matriks sama jika ordonya sama dan setiap entri yang seletak bernilai sama. Sifat ini sering dipakai untuk mencari nilai variabel.

Penjumlahan dan perkalian skalar

Penjumlahan dan pengurangan hanya untuk ordo yang sama: operasikan entri yang seletak. Perkalian skalar kA mengalikan setiap entri dengan k.

Perkalian dua matriks

A_m×n · B_n×p = C_m×p
c_ij = (baris i dari A) · (kolom j dari B)

Syaratnya: banyak kolom A sama dengan banyak baris B. Pada umumnya AB ≠ BA, jadi perkalian matriks tidak komutatif.

Determinan

det abcd = ad − bc

Untuk ordo 3 × 3 dipakai aturan Sarrus atau ekspansi kofaktor. Sifat penting: det(AB) = det A · det B, det(A^T) = det A, dan det(kA) = kⁿ det A untuk matriks berordo n × n.

Invers

A⁻¹ = 1ad − bc d−b−ca

Invers ada hanya jika det A ≠ 0 (matriks nonsingular). Jika det A = 0, matriks disebut singular dan tidak punya invers. Berlaku AA⁻¹ = A⁻¹A = I.

Penerapan: sistem persamaan linear

AX = B ⇒ X = A⁻¹B
XA = B ⇒ X = BA⁻¹

Perhatikan sisi tempat invers dikalikan, karena perkalian matriks tidak komutatif.

Coba sendiri di , lalu pelajari .

A

B

Operasi

03 / 03

Transformasi Geometri

Translasi, refleksi, rotasi, dilatasi, dan transformasi oleh matriks, untuk titik maupun bangun.

Objek

Translasi (pergeseran)

T = ab : (x, y) → (x + a, y + b)

Setiap titik bergeser sejauh a ke kanan (negatif: ke kiri) dan b ke atas (negatif: ke bawah).

Refleksi (pencerminan)

Sumbu X	(x, −y)
Sumbu Y	(−x, y)
Garis y = x	(y, x)
Garis y = −x	(−y, −x)
Titik asal O	(−x, −y)
Garis x = h	(2h − x, y)
Garis y = k	(x, 2k − y)

Matriks refleksi terhadap sumbu X adalah 100−1, terhadap y = x adalah 0110. Refleksi membalik orientasi bangun.

Rotasi (perputaran)

Pusat O, sudut θ: x′y′ = cos θ−sin θsin θcos θxy

θ positif berarti berlawanan arah jarum jam. Kasus khusus pusat O: 90° → (−y, x), 180° → (−x, −y), −90° → (y, −x). Untuk pusat P(a, b), geser dulu ke O: (x′ − a, y′ − b) diperoleh dengan memutar (x − a, y − b).

Dilatasi (perkalian)

[O, k]: (x, y) → (kx, ky)
[P(a, b), k]: x′ = a + k(x − a), y′ = b + k(y − b)

|k| > 1 memperbesar, 0 < |k| < 1 memperkecil, dan k < 0 menempatkan bayangan di sisi berlawanan dari pusat. Bayangan selalu sebangun dengan bangun asal.

Transformasi oleh matriks

Transformasi linear dengan pusat O dapat ditulis sebagai matriks 2 × 2. Bayangan sebuah titik dihitung dengan mengalikan matriks dengan titik yang ditulis sebagai matriks kolom:

x′y′ = abcdxy = ax + bycx + dy

ContohTitik P(3, −1) oleh 21−14: x′ = 2·3 + 1·(−1) = 5 dan y′ = −1·3 + 4·(−1) = −7, jadi P′(5, −7).

Refleksi sumbu X	100−1
Refleksi sumbu Y	−1001
Refleksi y = x	0110
Refleksi y = −x	0−1−10
Rotasi 90° pusat O	0−110
Rotasi 180° pusat O	−100−1
Rotasi −90° pusat O	01−10
Dilatasi [O, k]	k00k

Kolom pertama matriks adalah bayangan titik (1, 0), dan kolom kedua adalah bayangan titik (0, 1). Kebalikannya: titik asal P = M⁻¹P′, dan jika matriks T memetakan kolom-kolom M ke kolom-kolom N, maka T = NM⁻¹.

Komposisi dan luas

Translasi, refleksi, dan rotasi adalah isometri: bentuk dan ukuran tetap. Jika transformasi bermatriks M₁ dilanjutkan transformasi bermatriks M₂, komposisinya bermatriks M₂ · M₁; yang dikerjakan lebih dulu ditulis paling kanan.

Luas bayangan = |det M| × luas asal

Dua refleksi berurutan terhadap dua garis sejajar setara dengan translasi, sedangkan terhadap dua garis berpotongan setara dengan rotasi.

Uji di , pelajari , lalu kerjakan .

Evaluasi

Latihan Ujian Semester

Simulasi pilihan ganda dari ketiga bab, dengan waktu, nilai, dan pembahasan setiap soal.